Penjelmaan (Easy n Simple Note): Penjelmaan

1.0 Pantulan

1.Pantulan ialah suatu penjelmaan yang menterbalikkan semua titik di suatu satah pada suatu garis yang dikenali sebagai paksi pantulan.

2. Sifat-sifat pantulan:
- Setiap titik dan imejnya yang sepadan berada pada jarak yang sama dari paksi pantulan.
- Titik-titik pada paksi pantulan tidak mengalami sebarang perubahan kedudukan.
- Bentuk dan saiz suatu objek tidak berubah selepas pantulan.
- Orientasi imej bagi objek adalah terbalik.
- Objek dan imejnya berada pada sebelah yang bertentangan dengan paksi pantulan.

Contoh soalan:

Lukis imej bagi segi tiga ABC di atas bawah pantulan pada garisan y=4 dan garisan x=3.

Penyelesaian

Garisan DE telah dilukis untuk menunjukkan garisan x=3 manakala garisan FG telah dilukis untuk menunjukkan garisan y=4.

Seterusnya, imej A'B'C' bagi segi tiga ABC di bawah pantulan pada garisan FG telah dilukis dengan semua titik objek dan imej mempunyai jarak yang sama dari paksi pantulan manakala titik C tidak berubah kerana jarak antara titik C dengan garisan FG adalah 0 unit.

Seterusnya, imej A''B''C'' bagi segi tiga ABC di bawah pantulan pada garisan DE telah dilukis dengan semua titik objek dan imej mempunyai jarak yang sama dari paksi pantulan.

Selepas dipantul, orientasi imej bagi objek adalah terbalik. Bentuk dan saiz juga tidak berubah selepas pantulan.

Pentaksiran 1.1

1. Cari imej bagi titik A (1,1) di bawah pantulan pada paksi-y.
2. Cari imej bagi titik B (2,4) di bawah pantulan pada garisan x=2.
3. Cari imej bagi segi tiga ABC di bawah pantulan pada garisan x=5.

2.0 Translasi

Translasi ialah pergerakan secara mengufuk atau secara mencancang.

⟹Objek bergerak sebanyak x unit ke kanan dan y unit ke atas.

⟹Objek bergerak sebanyak x unit ke kiri dan y unit ke atas.

⟹Objek bergerak sebanyak x unit ke kanan dan y unit ke bawah.

⟹Objek bergerak sebanyak x unit ke kiri dan y unit ke bawah.

Kesimpulan:

⟹Objek gerak ke kiri atau kanan (gerakan paksi-x)

⟹Objek gerak ke atas atau bawah (gerakan paksi-y)

Contoh soalan

Cari imej bagi segi empat ABCD di bawah transalsi:

Penyelesaian

Menurut soalan, x merupakan nilai positif dan y merupakan nilai negatif. Jadi, koordinat-x bagi imej A'B'C'D' bergerak 2 unit ke kanan dan koordinat-y bergerak 3 unit ke bawah.

Pentaksiran 2.1

Cari imej bagi segi tiga ABC di bawah translasi:
1.

3.0 Putaran

Putaran ialah suatu penjelmaan yang memusingkan semua titik di suatu satah pada suatu titik melalui suatu sudut dan pada arah yang telah ditentukan. Titik tersebut dikenali sebagai pusat putaran dan sudutnya sebagai sudut putaran.

Rajah 1: Pusat putaran

Sumber: https://www.youtube.com/watch?v=gVg-fMDf9Y8

Ø Jarak di antara objek ke pusat putaran dan jarak di antara imej ke pusat putaran sama. Di antara dua garis lurus tersebut mesti membentuk sudut yang dikehendaki.

Ø Jika satu penjelmaan ialah bukan translasi, bukan pantulan dan juga bukan pembesaran maka ia adalah putaran.

Rajah 2: 90^o Putaran melawan arah jam

Melalui rajah di atas, titik P dipusingkan ke titik P’ mengikut lengkok bulatan pada titik O iaitu pusat putaran, melalui 90^opada arah lawan jam. Oleh itu, penjelmaan itu ialah satu putaran.

Ciri-ciri putaran:

ü Setiap titik diputarkan melalui sudut yang sama, iaitu setiap garis yang menyambungkan titik itu dengan pusat putaran yang diputarkan melalui sudut yang sama.

ü Jarak titik dan imejnya dari pusat putaran adalah sama.

ü Garis pembahagi dua sama panjang bagi garis yang menyambungkan suatu titik dan imejnya sentiasa melalui pusat putaran.

ü Bentuk, saiz dan orientasi suatu objek adalah tidak berubah selepas putaran.

Ada beberapa perkara yang perlu diambil tahu tentang putaran:

i) Sudut putaran (angle of rotation)

– biasanya ia adalah sudut 90^odan 180^o

ii) Arah putaran (direction)

– ikut arah jam atau lawan arah jam (clockwise, anti-clockwise)

– Jika sudut 180^o, arah putaran boleh diabaikan.

iii) Pusat putaran (center of rotation)

– di mana-mana titik pada satah cartesan

Contoh Soalan

Lukis imej bagi imej bagi segi tiga PQR di bawah suatu putaran lawan arah jam melalui 90^opada asalan O. Kemudian, tulis koordinat-koordinat imej bagi titik P’, Q’ dan R’.

Penyelesaian

P’= (1,2), Q’= (-4,3) dan R’= (-2,0)

Pentaksiran 3.1

1. Dalam rajah, segi tiga LMN dipindah ke segi tiga L’M’N’ di bawah satu putaran. Antara titik-titik A, B, C dan D, yang manakah merupakan pusat bagi putaran itu?